Глава 1. Силы и моменты, действующие на летательный аппарат в полете

§ 1.3 Потенциал силы притяжения для сферической и эллипсоидальной моделей земли

Пользуясь выражением

можно было бы записать выражение для потенциала силы притяжения Земли частицы единичной массы, равной потенциалу ускорения силы притяжения Земли.

Однако вследствие сложности фигуры Земли и недостаточных знаний о распределении ее массы решение интеграла (1.7) для действительной формы Земли пока невозможно. Поэтому для решения практических задач вводятся упрощающие предположения относительно формы и распределения массы Земли.

Для сферической модели Земли интеграл (1.7) вычисляется достаточно просто. Расчеты показывают, что сферическая Земля со сферическим распределением массы может быть заменена материальной точкой, в которой сосредоточена вся масса Земли.

Потенциал силы притяжения сферической модели Земли равен

где = 3,9861679-10¹⁴ м³/с²;
— расстояние между центром масс Земли и притягиваемой материальной точкой единичной массы.

На основании изложенного, получим для сферической модели Земли:

— ускорение силы притяжения, равное силе притяжения, действующей на частицу единичной массы 

— силу притяжения, действующую на тело массой ,

Для эллипсоидной модели Земли (эллипсоида вращения, полученного вращением эллипса вокруг его малой оси)  потенциал силы притяжения может быть с достаточным для практики приближением представлен выражением:

— основной потенциал сферической модели Земли;
— геоцентрическая широта текущей точки;
— постоянные, характеризирующие поле притяжение Земли;
— полиномы Лежандра, имеющие вид []:

В практических расчетах пользуются одним, двумя или тремя членами ряда в зависимости от дальности стрельбы. Мы будем пользоваться двумя членами ряда:

где

Из выражения (1.12) видно, что потенциал силы притяжения эллипсоидальной Земли зависит не только от величины текущего радиуса-вектора, но также от широты , определяющей положение указанного радиуса-вектора, то есть

Выражение

дает возможность определить потенциал дополнительных сил притяжения эллипсоидальной Земли, то есть сил, которые нужно добавить к основной силе притяжения, чтобы получить силу притяжения, создаваемую более ложной моделью Земли.

Так как , то целесообразно ускорение силы притяжения раскладывать на две оставляющие по направлениям отсчета сферических координат и , обозначаемых и (рис. 1.3).

Направление определяется как направление увеличения координаты при постоянстве координаты . Очевидно, что . Направление определяется как направление увеличения координаты  при постоянстве координата . В пространстве направление  задается перпендикуляром к радиус-вектору , проведенному через текущую точку и ось вращения Земли. При малом изменении координаты  справедливо равенство  .

Ускорения, сообщаемые притягиваемому телу силой притяжения в направлении осей и , отыскиваются путем дифференцирования потенциала (1.12) , т.е. и можно определить как частные производные от по соответствующим направлениям:

Пользуясь выражениями (1.14) и (1.15), можно получить составляющие силы притяжения, если каждое слагаемое указанных выражений помножить на массу БР.