Глава 1. Силы и моменты, действующие на летательный аппарат в полете

§ 1.6 Аэродинамические силы

Физические основы аэродинамической силы, скоростная и связанная системы координат

При движении БР в атмосфере на каждый элемент его поверхности действуют нормальное давление и касательная силы.

Сумма этих сил, действующих на всю поверхность БР, называется полной аэродинамической силой . Линия действия силы пересекается с продольной осью БР в точке, называемой центром давления (ц.д.).

Положение центра давления зависит от аэродинамической формы БР. Центр давления изучаемых нами БР, как правило, полагается впереди центра масс. Взаимное положение центра давления и центра масс является существенным для стабилизации БР в полете.

В аэродинамике вектор полной аэродинамической силы обычно раскладывается по осям скоростной и связанной систем координат. Введем эти СК.

Связанная система координат SXYZ жестко связана с корпусом БР, ее начало совмещено с центром масс - точкой S. В реальных конструкциях БР можно выделить несколько плоскостей симметрии. Они проходят через какие-либо характерные элементы корпуса БР: стабилизаторы, органы управления и т.п.

Пусть одна из плоскостей симметрии, назовем ее основной плоскостью симметрии (ОПС), проходит через органы управления 1,3, а перпендикулярная ей плоскость - главная плоскость симметрии (ГПС)  - через органы управления 2,4 ( рис. 1.6)

На некоторых БР основная плоскость симметрии составляет с плоскостью, проходящей через 1 - 3 органы управления, угол 45 или 60 градусов.

Ось SX связанной СК направлена по продольной оси БР от ц.м. к её носу. Ось SY лежит в основной плоскости симметрии, перпендикулярна оси SX и направлена от 1 к 3 органу управления. Ось SZ лежит в главной плоскости симметрии и направлена так, что образует правую систему координат. Эти оси называются так: продольная SX, нормальная SY и поперечная SZ. Оси связанной СК изменяют свое положение в пространстве одновременно с изменением положения БР.

Скоростная системы координат  жестко связана с вектором скорости БР . Ее начало также совмещено с ц.м. БР – точкой S . Ось направлена по вектору скорости центра масс БР.  Ось направлена по вектору скорости центра масс ЛА. Ось лежит в основной плоскости симметрии и направлена от органа 1 к 3 органу управления. Ось дополняет систему координат до правой тройки.

Взаимное положение осей связанной и скоростной СК определяется углами атаки и скольжения (Рис. 1.7).Углом атаки  называется угол между проекцией вектора скорости на основную плоскость симметрии и продольной осью ЛА.Углом скольжения  называется угол между вектором скорости и его проекцией на основную плоскость симметрии.

Положительными углами   и  считаются углы, полученные поворотом ракеты против часовой стрелки от вектора скорости, если смотреть с конца оси, вокруг которой осуществляется поворот. Для угла   это ось  SZ , для угла  - ось SY. На Рис. 1.7 показаны >0 и >0.

Составляющие аэродинамической силы

В аэродинамике вектор полной аэродинамической силы часто представляется в виде проекций по осям скоростной СК:

где — сила лобового сопротивления;
— подъемная сила;
— боковая сила;
— орты (единичные векторы) осей скоростной СК.
Сила лобового сопротивления направлена противоположно оси , так как атмосфера тормозит движение БР, поэтому ;

В аэродинамике выводятся формулы для расчета этих сил []:

где — безразмерные аэродинамические коэффициенты соответственно лобового сопротивления, подъемной и боковой сил;
— скоростной напор;
— плотность воздуха в данной точке траектории;
— скорость движения ц.м. БР относительно воздуха;
— площадь наибольшего поперечного сечения БР (площадь миделя).

Из (1.25) видно, что рассматриваемые составляющие вектора аэродинамической силы полностью определяются величиной аэродинамических коэффициентов , так как остальные множители указанных выражений одинаковы для всех составляющих.

Аэродинамические коэффициенты зависят от размеров и формы корпуса БР, а также от условий его движения в атмосфере. Для конкретного БР, когда заданы геометрические параметры, их величины зависят только от условий движения БР. Эта зависимость имеет сложный характер и представить ее в аналитической форме невозможно.

На практике эти коэффициенты  определяют в результате аэродинамических расчетов на основании продувок модели ракеты в аэродинамической трубе. Так, величину  представляют в виде суммы:

где - число Маха;
 - скорость звука на высоте полета h ;
 - угол атаки.

В этом выражении первое слагаемое представляет собой коэффициент лобового сопротивления БР при его полете у поверхности Земли, второе слагаемое — приращение коэффициента лобового сопротивления с высотой.

Разложим слагаемое выражения (1.26) разложить по степеням угла атаки в окрестности его нулевого значения. С учетом малости угла   (у БР он не превышает 2 ^о..5^о) можно ограничиться членами ряда разложения до второго порядка включительно и записать:

Учитывая, что сила лобового сопротивления не зависит от знака угла атаки (то есть функция — четная), получаем

где — коэффициент лобового сопротивления ЛА, движущегося у поверхности Земли с нулевым углом атаки;
— поправка к коэффициенту лобового сопротивления, обусловленная наличием угла атаки;
— поправка к коэффициенту лобового сопротивления на высоту полета ЛА.

Основной вес в выражении (1.28) имеет первое слагаемое, которое обычно представляется в виде таблиц или графиков в функции числа Маха  М (рис. 1.8).

Графики изменения и представлены на рис. 1.9 и рис. 1.10 соответственно.

Экспериментально установлено, что с достаточной для практики точностью можно считать, что коэффициент подъемной силы зависит только от числа маха М и угла атаки . Учитывая что изменение знака угла атаки приводит к изменению направления подъемной силы (после разложения в ряд по степеням угла атаки около его нулевого значения), с учетом малости угла запишем

или

Примерный вид зависимости коэффициента от числа М приведен на рис. 1.11.

Выражение для расчета величины подъемной силы с учетом (1.29) будет иметь вид:

где   - градиент подъемной силы.

Все сказанное о подъемной силе можно распространить и на боковую силу. В частности, аэродинамический коэффициент боковой силы по аналогии с выражением (1.29) может быть представлен с учетом малости угла  (он, как и угол атаки, не превышает у БР 2^о..5^о) в виде:

Знак «минус» в выражении (1.31) объясняется тем, что при положительных значениях угла боковая сила  оказывается отрицательной.

Таким образом, по аналогии с выраением (1.30) можно записать

где  - градиент боковой силы.

Для БР, обладающих осевой симметрией, справедливо следующее равенство: . Следовательно, в этом случае будут равны между собой градиенты подъемной и боковой сил: .

Составляющая аэродинамической силы по осям связанной системы координат

Иногда в баллистике используются проекции полной аэродинамической силы на оси связанной СК:

где  - продольная сила;
- нормальная сила;
- поперечная силаж
- орты (единичные векторы) осей связанной СК.

Выражения для для проекций сил записываются аналогично выражениям (1.25):

где — безразмерные аэродинамические коэффициенты продольной, нормальной и поперечной сил.

Можно записать выражения для сил через известные проекции аэродинамической силы , для этого необходимо использовать матрицу перехода от скоростной к связанной СК.

Матрица может быть получена из известных в аналитической геометрии зависимостей для пересчета координат из одной СК в другую []. Так, проекция  вектора  на ось  k - ой СК  может быть записана в виде:

где — известные проекции вектора  на оси i-й СК ;
направляющие косинусы между соответствующими осями i-й системы координат и осью  k -й СК.

Аналогично можно записать проекции вектора  на оси  и  выбранной системы координат.

Таким образом, определение связи между СК сводится к составлению таблицы направляющих косинусов между их осями. Матрица, составленная из элементов таблицы направляющих косинусов, называется матрицей направляющих косинусов (матрицей перехода).

Матрица перехода от скоростной к связанной СК имеет вид []:

Иcпользуя матрицу перехода  , легко записать выражения для сил через известные проекции аэродинамической силы . Запишем в матричном виде

Произведя умножение матрицы на вектор-столбец, получаем

С учетом малости углов  и  имеем

Тога вырадение (1.37) примет вид:

Подставляя в эти выражения значения сил  из (1.25), получим

где  

Воздействие аэродинамических сил на движущийся БР вызывает уменьшение скорости полета и протяженности участка программного полета. Основное воздействие аэродинамические силы оказывают при полете БР в плотных слоях атмосферы (до высоты 30 - 35 км).