Глава 1. Силы и моменты, действующие на летательный аппарат в полете

§ 1.2 Сила притяжения. Потенциал силы притяжения материальной точки, системы точек, тела произвольной формы

Сила притяжения Земли обусловливается законом всемирного тяготения, в соответствии с которым две материальные частицы взаимно притягиваются с силой , прямо пропорциональной их массам и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними.

Если притягивающая частица имеет массу , а притягиваемая — массу , то они притягиваются друг к другу с силой

где  - гравитационная постоянная;
 - радиус-вектор, проведенный из притягивающей точки массы M в точку массы m.

Притяжение материальной частицы удобно характеризовать силой , с которой она притягивает частицу единичной массы

Сила численно равна ускорению движения частицы массой .

Из теоретической механики известно, что указанная сила является консервативной, т. е. имеющей силовую функцию, которую принято называть ньютоновским потенциалом частицы с массой . Силовая функция точечной массы равна

Функция координат точек поля, производная от которой по какому-либо направлению равна проекции силы в данной точке на это направление, называется потенциалом .

Очевидно, что для направления, совпадающего с линией действия силы в данной точке поля, производная от потенциала максимальна и равна самой силе:

Это направление принято называть направлением линии потенциала данной точке. Знак в последнем выражении объяснялся противоположными направлениями действия силы притяжения и радиус-вектора, определяющего положение единичной массы, относительно притягивающей массы.

Из выражения (1.6) видно, что потенциал поля в равноудаленных точках от притягивающей массы имеет одно и то же значение. Поверхность, проведенная через точки одинаковых потенциалов, называется эквипотенциальной поверхностью. Очевидно, что производная от потенциала по направлениям, перпендикулярным к линиям потенциала (по касательным к эквипотенциальным поверхностям), равна 0.

Если притяжение создается не точечной массой, а системой материальных частиц, то потенциал такой системы равен сумме потенциалов притягивающих частиц:

где — масса -й притягивающей частицы; — расстояние от -ой частицы до притягиваемой частицы единичной массы.

Потенциал силы притяжения любого тела, в том числе и Земли, может быть представлен в виде:

где — расстояние от точки до элементарной частицы Земли ;
— область интегрирования, соответствующая массе и размеру Земли.

Интегрирование ведется по всей массе Земли. Выражение (1.7) нельзя использовать непосредственно для определения потенциала силы притяжения, так как неизвестно распределение массы в Земле, которое необходимо для практического вычисления интеграла. Поэтому для определения потенциала силы притяжения необходимо иметь дополнительное допущение о распределении массы Земли и о ее форме.