Глава 2. Программный невозмущенный полет летательного аппарата

§ 2.5 Уравнения пространственного движения ЛА

Математическое описание рассмотренных плоских схем является достаточно простым и в то же время позволяет установить основные закономерности полета летательного аппарата.

Полнота отображения реального полета плоскими схемами оказывается достаточной для решения значительного числа практических задач, таких, как задача досягаемости, устойчивости, исследования влияния ряда возмущений на точность полета.

Однако полнота математического описания полета с использованием плоских схем оказывается недостаточной для решения практических задач, требующих высокой точности определения параметров движения центра масс ЛА.

К таким задачам относятся:

- задачи, связанные с определением попадающей траектории, которую необходимо рассчитывать, например при подготовке данных на пуск ЛА;

- задачи, связанные с баллистическим обеспечением точности полета, например как управление положением точек падения головных частей;

- задачи исследования влияния ряда возмущений на отклонение параметров движения центра масс ЛА и др. Необходимая точность определения параметров движения центра масс при решении указанных задач может быть достигнута при отображении реального полета с помощью пространственных схем.

Векторные уравнения движения центра масс ЛА

Вывод уравнений пространственного движения, их решение и анализ представляют собой достаточно сложную задачу, которая обычно рассматривается при некоторых допущениях.

Основные допущения:

1. ЛА является абсолютно твердым осесимметричным телом, центр масс которого находится на продольной оси. Геометрические и весовые характеристики ЛА и его системы управления равны номинальным значениям.

2. Угол крена за все время движения на участке программного полета равен нулю.

3. В качестве модели Земли принимается эллипсоид Красовского, поле силы тяжести соответствует ему. Земля вращается с постоянной угловой скоростью =0,7292115 10-4 рад/с.

4. Параметры атмосферы соответствуют параметрам атмосферы стандартной. Ветер отсутствует.

5. Движение ЛА относительно центра масс не влияет на движение самого центра масс.

Уравнения движения центра масс ЛА. Используя закон механики и выводы И.В. Мещерского о движении тела переменной массы, можно записать

где масса ЛА; - абсолютное ускорение центра масс ЛА в некоторой инерциальной системе координат; - сумма сил, действующих на ЛА в полете.

В рассматриваемом случае движения ЛА в атмосфере - сила тяги двигательной установки; - вектор полной аэродинамической силы; - сила притяжения.

Записанное уравнение является уравнением движения ЛА в инерциальной системе координат. Нас будет интересовать движение ЛА в системе координат, связанной с точкой старта (неинерциальной).

На основании теоремы о сложении ускорений запишем

где - относительное ускорение; - ускорение переносного движения; - ускорение Кориолиса.

Подставляя (2.47) в (2.46), получаем

где сила инерции переносного движения (центробежная сила);

= - сила инерции Кориолиса.

Учитывая, что - сила тяжести, перепишем, разделив левую и правую части на m,

или

Уравнение (2.49) является векторным уравнением движения центра масс ЛА в неинерциальной системе координат. Исследование полета ЛА может быть облегчено за счет удачного выбора системы координат.

Однако выбор системы координат для составления скалярных уравнений движения центра масс во многом зависит от рассматриваемой задачи. Так, например, при исследовании управляемого полета на АУТ целесообразно рассматривать движение в системе координат, связанной с Землей в точке старта .

Системы координат

При записи уравнений движения ЛА используются правые прямоугольные системы координат.

Стартовая система координат . Эта система координат используется для определения положения ЛА относительно места старта и является прямоугольной правой системой. Начало системы координат совпадает с точкой старта .

Ось расположена в касательной плоскости к поверхности Земли в точке старта и ориентирована в направлении прицеливания. Ось направлена по местной вертикали вверх. Ось дополняет систему координат до правой тройки.
(Рис. 2.20)

Плоскость называют плоскостью стрельбы, хотя из-за вращения Земли траектория полета ЛА оказывается пространственной кривой, которая в общем случае не располагается в указанной плоскости.

Плоскость касательна к поверхности земного эллипсоида и называется плоскостью стартового горизонта.

Направление прицеливания задается азимутом прицеливания Ао , который отсчитывается от северного направления касательной к меридиану N в точке старта по часовой стрелке. Азимут прицеливания рассчитывается перед пуском и может изменяться в диапазоне . Угол , образованный нормалью к поверхности земного эллипсоида и плоскостью экватора, называется геодезической широтой. Широта может принимать значения , причем положительные значения соответствуют северному полушарию, отрицательные - южному.

Поскольку стартовая система координат вращается вместе с Землей, то она является неинерциальной.

Геоцентрическая система координат . В этой системе удобно определять текущее положение центра масс ЛА относительно поверхности Земли. Ее начало совпадает с центром Земли А. Ось расположена в плоскости экватора и проходит через начальный меридиан. За начальный меридиан принимается меридиан точки старта или Гринвичский меридиан см.(Рис. 2.21) . Ось направлена по оси вращения Земли. Ось лежит в плоскости экватора и дополняет систему до правой прямоугольной.

Подвижная ориентированная (гироскопическая) система координат. Начало координат О размещается на летательном аппарате, обычно в центре масс. В момент старта оси этой системы совпадают с соответствующими осями стартовой системы координат, а в дальнейшем направление осей неизменно относительно звезд.

Направление осей этой системы координат можно задавать на борту ЛА, например, с помощью трехосной гиростабилизированной платформы.

Угловое положение ЛА на борту измеряется относительно этой системы координат.

Связь между системами координат.
Матрицы направляющих косинусов

При составлении уравнений движения ЛА необходимо производить пересчет векторов сил, моментов, координат и т.д. из одной системы координат в другую.

Для получения формул перехода от одной системы координат к другой необходимо знать положение начала первой системы координат относительно второй и их взаимное угловое положение. Взаимное угловое положение характеризуется матрицей перехода, элементами которой являются косинусы углов между осями исходной и повернутой систем координат. Для осуществления перехода от одной системы координат к другой требуется не больше трех поворотов системы координат на углы Эйлера. Выбор последовательности углов поворота обычно определяется физическим содержанием задачи.

Рассмотрим расчет матрицы направляющих косинусов углов между осями стартовой связанной ОХУZ систем координат. Предположим, что начала обеих систем координат совпадают.

Первый поворот осуществляется на угол вокруг оси . Второй поворот осуществляется вокруг промежуточной оси на угол . Третий поворот выполняется вокруг связанной оси на угол .

В результате последовательных поворотов на углы происходит переход от стартовой к связанной системе координат (Рис. 2.22). Угол между проекцией продольной оси ЛА ОХ на плоскость стартовой системы координат и осью , называют углом рыскания. Угол между продольной осью ЛА и плоскостью горизонта точки старта называют углом тангажа. Угол между поперечной осью и осью , смещенной в положение, соответствующее нулевому углу рыскания, называют углом крена.

Элементы матрицы направляющих косинусов представляют собой соответствующие проекции единичных векторов , направленных по осям связанной системы координат на оси стартовой системы координат.

Вычисление указанных проекций для нескольких поворотов оказывается достаточно сложным, поэтому предварительно рассмотрим матрицы перехода, соответствующие отдельным поворотам на углы рыскания , тангажа и крена
(Рис. 2.23).

Будем при каждом повороте проектировать единичные векторы, направленные по осям повернутой системы на оси исходной системы координат. При этом матрицы направляющих косинусов, соответствующие последовательным поворотам на углы вычисляются достаточно просто:

Для рассматриваемого преобразования системы координат матрица направляющих косинусов, отвечающая переходу от стартовой системы координат к связанной системе координат, будет вычисляться как произведение отдельных матриц, взятых в указанном порядке:

.

Перемножив матрицы, получим:

Представим эту матрицу в общем виде:

Если в стартовой системе координат задан некоторый вектор

то составляющие этого вектора в связанной системе координат

можно вычислить по формуле:

Путем транспонирования матрицы можно осуществить обратный переход от системы координат ОХУZ к системе координат . В этом случае строками транспонированной матрицы будут столбцы матрицы т.е.

В ряде случаев требуется осуществить переход от одной системы координат к другой, при котором достаточно одного или двух поворотов вокруг соответствующих осей систем координат. Например, для перехода от скоростной системы координат к связанной ОХУZ необходимо последовательно осуществить повороты на угол скольжения (Рис. 2.24а) и угол атаки (Рис. 2.24б). В этом случае можно использовать матрицы и , заменяя в них соответственно угол углом , а угол углом .

Матрицы перехода, соответствующие поворотам на углы скольжения , и атаки , будут иметь вид

Матрица перехода от скоростной к связанной системе координат будет вычисляться как произведение двух полученных матриц

или

В силу ортогональности преобразования на направляющие косинусы накладываются следующие условия:

Эти соотношения позволяют проверять правильность составленной матрицы преобразования.

Таким образом, при заданных углах, определяющих положение одной системы координат по отношению к другой, всегда можно вычислить матрицу перехода как произведение отдельных матриц, отвечающих последовательным поворотам на эти углы.

Уравнения пространственного движения центра масс ЛА

Для записи скалярных уравнений движения центра масс спроектируем векторное уравнение (2.49) на оси стартовой системы координат. В матричном виде уравнения движения центра масс ЛА примут вид

где - матрица направляющих косинусов, определяющая переход от связанной к стартовой системе координат; - матрица направляющих косинусов, определяющая переход от скоростной к стартовой системе координат. Раскроем теперь все зависимости, входящие в правую часть уравнений.

Определение проекций ускорения силы тяжести на оси стартовой системы координат

В гл. 1 было определено ускорение силы тяжести в следующем виде:

где - составляющая ускорения силы тяжести, направленная по радиусу-вектору; - составляющая ускорения силы тяжести, направленная по оси вращения Земли (по оси геоцентрической системы координат); - единичные векторы, направленные соответственно по радиусу-вектору и оси геоцентрической системы координат.

Проекции ускорения силы тяжести на оси стартовой системы координат могут быть найдены следующим образом:

,

где - единичные векторы, направленные соответственно по осям стартовой системы координат; - направляющие косинусы между радиусом-вектором и осями стартовой системы координат; - направляющие косинусы между осью и осями стартовой системы координат.

Обозначим координаты текущей точки траектории полета ЛА в стартовой системе координат через а координаты центра Земли в той же системе через . Тогда модуль радиуса-вектора , проведенного из центра эллипсоида, будет равен . Проекции радиуса-вектора на оси стартовой системы координат будут равны

и, следовательно,

Координаты центра Земли в стартовой системе координат определим, пользуясь Рис. 2.25. Обозначим угол между радиусом-вектором и осью через . Из Рис. 2.25 следует, что . Угол мал. Его наибольшее значение равно 11,5 на широте 45 градусов. Проектируя радиус-вектор на оси стартовой системы координат, получаем

Модуль радиуса-вектора определяется по формуле

,

где - большая полуось эллипсоида вращения, принятого за модель Земли; - полярное сжатие.

Связь между углом и углом определяется зависимостью

.

Для эллипсоида Красовского ; .

Для нахождения направляющих косинусов между осями стартовой системы координат и осью геоцентрической системы координат воспользуемся матрицей .

С учетом (2.58) и (2.60) окончательно запишем

Как видно из выражений (2.61), искомые проекции является функциями координат и геоцентрической широты . Угол может быть также выражен через координаты . Для этого воспользуемся скалярным произведением вектора и вектора . (Рис. 2.26).

Представляя скалярное представление векторов и через их проекции на оси стартовой системы координат

получаем

или

.

Определение проекций ускорения Кориолиса на оси стартовой системы координат

Для определения проекций ускорения Кориолиса на оси стартовой системы координат воспользуемся векторным выражением

,

где - проекции угловой скорости вращения Земли на оси стартовой системы координат.

Они определяются следующим образом:

.

С учетом (2.64), получим:

.

Уравнения движения ЛА вокруг центра масс

Скалярные уравнения движения ЛА вокруг центра масс получим, проектируя векторное уравнение моментов (2.2) на оси связанной системы координат.

Дифференцируя уравнение (2.11) по времени и группируя слагаемые, получаем

.

Тогда уравнения движения ЛА вокруг центра масс запишутся следующим образом:

где - проекции суммарного момента на оси связанной системы координат.

Так как принято допущение, что отсутствует вращение ЛА вокруг продольной оси, то s

.

Для осесимметричного ЛА можно принять равными моменты . Кроме того, производные малы, поэтому можно пренебречь вторыми слагаемыми левых частей уравнений (2.67).

В результате получим два уравнения следующего вида:

Найдем проекции угловой скорости вращения ЛА на оси связанной системы координат . Для этого воспользуемся Рис. 2.27

Из рисунка следует, что проекции угловой скорости вращения ЛА

.

Продифференцировав по времени, получим

или

.

Уравнения движения ЛА вокруг центра масс запишем теперь в окончательном виде:

Уравнения системы управления

Как уже отмечалось, ЛА обычно снабжаются системами управления. Изучив свойства таких систем и записав уравнения, описывающие их работу, устанавливают закон, связывающий перемещение органов управления ЛА с его движением и, следовательно, записывают уравнения движения ЛА, снабженного системой управления.

Рассмотрим методику составления уравнений системы управления, представленной на Рис. 2.1. Угловое положение ЛА на борту измеряется датчиками углов относительно осей гироскопической системы координат и характеризуется углами . Принцип построения каналов АУС одинаков, поэтому запишем уравнения каналов тангажа и рыскания, используя уравнения, полученные в разд 2.4

Уравнения канала тангажа. Программный элемент канала тангажа задает программное значение угла . Статическое уравнение канала тангажа запишем на основании формулы (2.16):

.

Это уравнение определяет знак и величину угла отклонения органов управления, работающих по каналу тангажа. Например, положительное рассогласование означает, что продольная ось ЛА составляет с плоскостью горизонта угол больший, чем требуется программой угла тангажа. Следовательно, органы управления должны отклониться так, чтобы создать управляющий момент, разворачивающий ЛА в сторону уменьшения угла . Это приводит к тому, что продольная ось занимает свое программное положение.

Уравнение канала рыскания. По каналу рыскания задается нулевое программное значение угла . Уравнения канала рыскания АУС запишутся следующим образом:

В установившемся режиме имеем

Уравнения каналов нормальной и боковой стабилизации центра масс ЛА. Стабилизация центра масс ЛА осуществляется с помощью автоматов нормальной и боковой стабилизации и автомата регулирования кажущейся скорости. Для того чтобы устранить смешение центра масс ЛА относительно расчетной траектории, например по нормали к траектории, необходимо отклонить руль высоты на угол , пропорциональный скорости и линейному смешению центра масс:

При этом измерительный элемент (акселерометр) вырабатывает сигнал, который после преобразования поступает на управляющий элемент канала высоты. Управляющий сигнал поступает на силовой элемент и руль поворачивается на угол . Аналогично записывается уравнение канала боковой стабилизации:

Таким образом, углы отклонения рулей каналов тангажа и направления будут иметь две составляющие:

или

Уравнение системы регулирования кажущейся скорости. Система РКС осуществляет стабилизацию центра масс ЛА вдоль траектории (по выбранному направлению). Блок-схема системы РКС представлена на Рис. 2.28

Измерительный элемент (гироинтегратор) вырабатывает сигнал, пропорциональный рассогласованию кажущейся скорости:

Управляющий элемент вырабатывает управляющий сигнал, например такого вида:

В результате работы привода редуктора изменяется массовый секундный расход двигателя на величину .Массовый секундный расход топлива определяется выражением

где - номинальный массовый секундный расход топлива; - статический коэффициент усиления канала РКС.

Изменение массового секундного расхода топлива приводит к изменению силы тяги и изменению ускорения. При этом текущее значение кажущейся скорости становится равным программному значению. Масса ЛА определяется по формуле , где - начальная масса ЛА.

Система уравнений системы управления

Объединяя полученные уравнения, получаем

Неизвестными переменными, входящими в уравнения системы управления, являются . Для определения составляющих необходимо определить соответственно вектор , вектор и вектор . Для этого воспользуемся Рис. 2.29.

Будем считать, что движение происходит точно по программе, тогда получимБудем считать, что движение происходит точно по программе, тогда получим

Из Рис. 2.29 следует, что

Здесь ось чувствительности акселерометра системы НС направлена по оси , системы БС - по оси и системы РКС по оси .

Составляющие кажущегося ускорения будем определять следующим образом:

где - матрицы направляющих косинусов, определяющих связь между подвижной ориентированной, связанной и скоростной системами координат, соответственно. Положение связанной системы относительно подвижной ориентированной задается углами .

Для определения воспользуемся зависимостью

или, используя матрицу направляющих косинусов , получаем

Таким образом, имеем 8 уравнений движения, в которые входят 24 неизвестные переменные:

Для "замыкания" системы уравнений движения необходимо составлять уравнения геометрических и кинематических связей.

Уравнения кинематических связей

Проектируя векторное равенство на оси стартовой системы координат, получаем

Дифференцируя по времени, получаем

Уравнение геометрических связей. Прежде всего, воспользуемся простейшими геометрическими соотношениями, которые следует из связей между векторами и их проекциями

Для установления связи, например, между углами и и обратимся к матрице перехода от стартовой системы координат к связной:

Приравнивания элементы и матрицы соответственно к элементам и матрицы, найденной перемножением матриц, получаем искомую зависимость:

Учитывая, что углы являются малыми углами, получаем приближенные зависимости:

или

Аналогичным образом (используя соответствующие матрицы направляющих косинусов) получим связь между другими углами:

Система дифференциальных уравнений пространственного движения ЛА

Система уравнений пространственного движения ЛА в стартовой системе координат является системой одиннадцатого порядка. Для ее решения необходимо задать начальные условия в момент старта, т.е. для задаются

Уравнения (2.78), (2.79) определяются при вычислении правых частей дифференциальных уравнений центра масс ЛА.

В результате интегрирования системы определится движение на активном участке траектории в стартовой системе координат, которая вращается вместе с Землей. Для расчета дальнейшего движения головной части необходимы значения параметров движения ЛА в точке выключения двигательной установки. Их часто называют параметрами конца активного участка траектории и обозначают . Они определяют начальные условия движения головной части.