Глава 2. Программный невозмущенный полет летательного аппарата

§ 2.4 Уравнения плоского продольного движения и полетные свойства ЛА

Движение ЛА на активном участке траектории и ее головной части на пассивном участке траектории представляет весьма сложный процесс.

Характер и свойства этого процесса определяются многочисленными, часто противоречивыми факторами. Траектория полета является сложной пространственной кривой, весьма трудной для изучения. Точный анализ реальных проблем, связанных с таким движением, крайне сложен и моет быть проведен только путем численного решения сложных систем дифференциальных уравнений.

Чаще всего среди факторов, которые определяют сложное движение ЛА, можно выделить основные. Их влияние на движение ЛА является определяющим. Остальные факторы можно отнести к второстепенным, так как их влияние на движение ЛА оказывается менее значительным. Поэтому изучение сложного движения ЛА целесообразно начинать с наиболее простой схемы, учитывающей действие только основных факторов. Движение ЛА, отвечающее такой простой схеме, обычно принимается за невозмущенное движение. Учет влияния второстепенных факторов на движение ЛА может быть проведен отдельно.

Понятие невозмущенного движения является условным, что следует из условности деления факторов на основные и второстепенные.

В этой главе будет рассмотрена схема плоского продольного движения, которая хорошо служит целям изучения основных закономерностей движения и поведения ЛА в полете.

Анализ простой системы дифференциальных уравнений плоского движения позволяет более правильно понять сложную систему дифференциальных уравнений пространственного движения, механическое и физическое содержание теории полета. Для осмысливания получаемых результатов полезно также ввести понятия, поясняющие полетные свойства ЛА.

Схема плоского продольного движения не может точно отразить все явления, сопровождающие полет ЛА. Для окончательного суждения по многим вопросам приходится привлекать более сложную схему движения ЛА.

В этой главе будет рассмотрена одна из возможных схем пространственного невозмущенного полета, пригодная для решения различных практических задач теории полета.

Векторные уравнения плоского продольного движения.

Для рассмотрения плоского движения ЛА введем Земную систему координат (Рис. 2.4).

Начало Земной системы координат расположено в точке старта . Ось этой системы координат направлена по радиус-вектору, проведенному из центра Земли в точку старта. Ось направлена по касательной к поверхности сферической Земли в точке старта под азимутом прицеливания .

Азимут рассчитывается перед пуском ЛА. Отсчет его проводится от северного направления касательной к меридиану в точке старта по часовой стрелке. Ось дополняет систему координат до правой.

Условимся называть плоским продольным движением ЛА или движением в неподвижной вертикальной плоскости такое движение, при котором основная плоскость симметрии ЛА в течении всего времени полета совпадает с вертикальной плоскостью Земной системы координат.

Движение ЛА будем рассматривать при следующих допущениях:

1. ЛА является абсолютно твердым осесимметричным телом, центр масс которого находится на продольной оси.

2. Земля принимается за тело сферической структуры радиусом (сферическая модель Земли).

3. Вращение Земли вокруг своей оси не учитывается.

4. Параметры атмосферы соответствуют параметрам стандартной атмосферы.

При этом положение ЛА в рассматриваемой плоскости полностью определяется, например, двумя полярными координатами его центра масс и углом наклона продольной оси к плоскости , то есть углом тангажа .

Задача определения продольного движения ЛА сводится к определению для каждого момента времени параметров движения, например, . Иначе говоря, задача сводится к определению функциональных зависимостей

Как принято в механике, движение ЛА будем рассматривать, состоящим из поступательного движения вместе с центром масс и вращательного движения его вокруг центра масс. Применяя теорему о движении центра масс твердого тела к движению ЛА, запишем векторное уравнение

Здесь — масса ЛА. — ускорение центра масс ЛА в земной системе координат; — сумма сил, действующих на ЛА в полете.

Уравнение (2.1) называют ещё уравнением сил. Применяя теорему об изменении момента количества движения твердого тела, запишем уравнение

где — вектор количества моментов движения (кинетический момент); — сумма моментов, действующих на ЛА в полете.

Необходимым условием осуществления ЛА продольного движения является отсутствие сил, перпендикулярных к плоскости движения ЛА и моментов относительно осей OX и OY. Условию осуществления продольного движения удовлетворяет основная сила притяжения Земли, так как она не дает составляющих, перпендикулярных к вертикальной плоскости . Вектор полной аэродинамической силы лежит в плоскости движения только при условии равенства боковой силы нулю. Значит, продольное движение должно рассматриваться происходящим без угла скольжения. При этом плоскость скоростной системы совпадает с основной плоскостью симметрии ЛА и с вертикальной плоскостью . Вектор силы тяги лежит в основной плоскости симметрии при выполнении условия . В рассматриваемом случае движения ЛА сумма сил, действующих на ЛА в полете

где — проекции силы тяги двигателя на оси связанной системы координат; — проекции вектора полной аэродинамической силы на оси скоростной системы координат; B — основная сила притяжения Земли.

Система моментов может быть представлена суммой

где — статический аэродинамический момент, — демпфирующий момент, — управляющий момент.

После переноса всех сил в центр масс ЛА получим схему, изображенную на (Рис. 2.5).

Динамические уравнения

Векторное уравнение (2.1) удобно спроектировать на оси скоростной системы координат. В этом случае проекции сил на ось будут изменять только величину вектора скорости, не меняя его направления. Проекции сил на ось будут изменять только направление вектора скорости, не меняя его величины. Так как скоростная система координат является подвижной системой, то полное ускорение в земной системе координат на основании теоремы о полной и относительной (локальной) производной от вектора следует представить в следующем виде

где — локальная или относительная производная, которая характеризует быстроту изменения вектора относительно осей скоростной системы координат, а векторное произведение определяет быстроту изменения вектора за счёт вращения самой скоростной системы координат с угловой скоростью относительно осей основной системы координат.

Вектор называется полным ускорением. Он характеризует быстроту изменения вектора в земной системе координат.

По условию выбора направления осей скоростной системы координат всегда выполняются следующие равенства:

Для случая продольного движения проекции вектора угловой скорости вращения скоростной системы координат на оси этой же системы равны

Представим векторное произведение в виде определителя, который разложим по элементам первой строки:

Вектор локальной производной направлен по оси , поэтому проекция вектора ускорения на эту ось равна .

Исходное векторное уравнение (2.1) можно теперь заменить скалярными уравнениями сил:

где — касательное ускорение; — нормальное ускорение; — проекции суммарной силы соответственно на оси .

Направление вектора скорости ЛА в плоскости будем определять углом , который заключен между вектором и осью (см. Рис. 2.5). В дальнейшем также будем определять направление вектора скорости относительно плоскости местного горизонта. Под плоскостью местного горизонта в данной точке принимают плоскость, перпендикулярную радиусу-вектору, проведенному из центра Земли в данную точку. Угол вектора скорости к местному горизонту обозначается и называется углом бросания.

Из (Рис. 2.5) найдем проекции сил на оси скоростной системы координат и запишем уравнения (2.9) в следующем виде:

Уравнения движения ЛА относительно центра масс удобно рассматривать в связанной системе координат. При этом для рассматриваемых ЛА центробежные моменты инерции можно считать равными нулю и левые части уравнений движения записываются наиболее просто. Кроме того, орган управления создают моменты относительно осей связанной системы координат.

Вектор момента количества движения в проекциях на оси связанной системы координат равен

где — моменты инерции ЛА относительно осей связанной системы координат; — проекции угловой скорости вращения ЛА на оси связанной системы координат; — единичные векторы, направленные по соответствующим осям связанной системы координат.

В продольном движении рассматривается вращение ЛА только вокруг оси OZ. При этом проекция производной от момента количества движения равна произведению проекции углового ускорения на момент инерции ракеты относительно оси OZ. Уравнение (2.2) в проекции на ось OZ записывается в виде

где — коэффициенты (градиенты) статического демпфирующего и управляющего моментов, введенные в (гл. 1).

В уравнениях (2.10), (2.12) масса, составляющие сил и градиенты моментов зависят от следующих параметров:

Таким образом, уравнения (2.10) и (2.12) содержат восемь неизвестных переменных величин . Эти уравнения не могут еще однозначно определять продольное движения ЛА, так как число неизвестный переменных величин превосходит число уравнений. Вместе с тем основные теоремы динамики твердого тела уже использованы. Следовательно, не все, перечисленные неизвестные, являются независимыми. Для «замыкания» системы необходимо добавить уравнения, выражающие связь между неизвестными переменными.

Уравнения кинематических связей

Проектируя вектор скорости ЛА на направление радиуса и трансверсали (перпендикуляра к радиус-вектору), получаем (Рис. 2.6)

Учитывая, что модули , окончательно запишем

Кроме того, для продольного движения справедливы следующие отношения:

Уравнения геометрических связей

Запишем простейшие геометрические соотношения, вытекающие из (Рис. 2.5),

Уравнения (2.10) - (2.15) описывают плоское продольное движение ЛА без системы управления, когда угол отклонения органов управления является заданной функцией времени.

Уравнения системы управления

В действительности угол отклонения органов управления определяется работой системы управления. Для простоты изложения будем пока считать, что ЛА снабжен только автоматом угловой стабилизации (АУС). Величина угла отклонения органов управления определяется работой канала тангажа АУС. Основные элементы канала тангажа АУС представлены на (Рис. 2.7).

Программный элемент задает программное значение угла тангажа, который используется для управления полетом ЛА на активном участке траектории. В продольном движении углу тангажа соответствует угол . Измерительный элемент измеряет угол рассогласования между действительным значением угла и его программным значением . На выходе элемента выделяется первичный сигнал . Он поступает в управляющий элемент, который формирует управляющий сигнал, например, вида или . Силовой элемент отклоняет органы управления на угол , значение которого определяется решением следующего уравнения:

В приведенных формулах величины — представляют собой коэффициенты пропорциональности; T — постоянная времени; — коэффициент усиления. В установившемся режиме работа канала тангажа описывается статическим уравнением

где — статический коэффициент усиления канала.

Система уравнений

Запишем в окончательном виде систему уравнений продольного движения ЛА в плоскости :

Неизвестными переменными являются . Величины являются известными функциями времени и неизвестных переменных. Они определяются по формулам, приведенным в гл. 1.

Система уравнений (2.17) имеет шестой порядок. Для ее решения необходимо знать шесть начальных условий. Для должны быть заданы . В результате интегрирования системы отыскиваются функции

которые определяют движение ЛА в неподвижной вертикальной плоскости. Для решения системы уравнений (2.17) используются численные методы интегрирования. Среди ряда известных методов численного интегрирования наибольшее применение получили методы Рунге-Кутта и Адамса. Выбор величины шага интегрирования определяется необходимой точностью вычисления траектории полета ЛА. На активном участке траектории шаг интегрирования выбирается порядка 1-2 сек.

Программа угла тангажа, характер изменения угла атаки

Требуемое движение ЛА осуществляется в соответствии с заданными программными функциями управления или программами.

Рассмотрим возможный вид программы угла тангажа двухступенчатого ЛА. На (Рис. 2.8) изображены графики изменения программного значения угла тангажа и угла атаки , построенные в функции времени полета ЛА на активном участке траектории.

Начальное постоянное значение угла тангажа соответствует вертикальному подъему ЛА. При этом направление продольной оси ЛА должно совпадать с вектором скорости его центра масс. Значит, на вертикальном участке полета угол атаки должен быть равным нулю. Схема сил, действующих на ЛА в этом случае, показана на (Рис. 2.9).

Для изменения направления полёта ЛА должен под действием управляющего момента развернуться в вертикальной плоскости по направлению к цели (Рис. 2.10). Программное значение угла тангажа начинает уменьшаться. Так как в момент начала разворота корпуса ЛА вектор скорости сохраняет свое прежнее направление, возникает отрицательный угол атаки. При этом создается отрицательная нормальная управляющая сила , которая вызовет отклонение центра масс ЛА в сторону цели.

По мере увеличения скорости движения ЛА увеличивается скоростной напор и пропорционально ему – аэродинамические силы. Для конструкции самого ЛА опасным является увеличение поперечных сил, в частности, подъемной силы. Чтобы свести к минимуму поперечные аэродинамические нагрузки в области околозвуковых скоростей, разворот по углу тангажа замедляется, и в дальнейшем полет до момента начала разделения ступеней проходит практически с нулевым углом атаки.

К моменту разделения ступеней ЛА уже проходит область больших скоростных напоров. Однако для улучшения условий разделения ступеней желательно, чтобы в этот момент угол атаки был близок к нулю.

После разделения ступеней программное значение угла тангажа быстро уменьшается до . Дальнейший полет второй ступени происходит практически в безвоздушном пространстве с постоянным углом тангажа. Как при этом меняется угол атаки?

При развороте ЛА до величины угла угол атаки является отрицательным. Поэтому возникает отрицательная управляющая сила, которая совместно с силой притяжения изменяет направление вектора скорости и вызывает искривление траектории.

В силу постоянства программного значения угла тангажа наклон продольной оси к оси основной системы координат остается неизменным. Поэтому абсолютная величина угла атаки начинает уменьшаться и в некоторый момент времени достигнет нулевого значения. В этот момент нормальная управляющая сила становится равной нулю. Однако проекция ускорения силы притяжения Земли на ось скоростной системы отлична от нуля и продолжает искривлять траекторию. Угол атаки становится положительным и возрастает (Рис. 2.11)

При положительном угле атаки нормальная управляющая сила становится положительной и действует в сторону, противоположную проекции ускорения силы притяжения . Соотношение величин нормальной управляющей силы и проекции силы притяжения и определяет вид траектории и изменение угла атаки (Рис. 2.12). Например, при равенстве рост угла атаки прекратится и траектория полета будет прямолинейной.

Вид программы угла тангажа и соответственно характер изменения угла атаки для конкретного образца ЛА может значительно отличаться от указанного. Каждой программе угла тангажа соответствует своя траектория полета на активном участке траектории.

Требования к программе угла тангажа

Так как в некоторых пределах можно выбирать программу угла тангажа из большого числа возможных вариантов, то возникает вопрос о критериях, какими надлежит руководствоваться при выборе программ.

Анализ особенностей конструкции ЛА, принятого вида старта, необходимых условий работы СУ позволяет определить ограничения, накладываемые на форму активного участка траектории.

На основании данных такого анализа были сформулированы основные требования к программе тангажа.

1. Обеспечение наибольшей дальности полета. При решении этой задачи исходят из постоянного запаса топлива на борту ЛА, которое полностью расходуется на активном участке траектории. Необходимо иметь в конце активного участка такие параметры движения , которые могли бы обеспечить наибольшую дальность полета. При фиксированных значениях наибольшую дальность полета можно получить для вполне определенного значения , равного углу бросания максимальной дальности .

2. Обеспечение минимального рассеивания. Наибольшая дальность полета вляется важной тактико-технической характеристикой. Однако часто это требование подчиняется требованию обеспечения минимального рассеивания. Наибольшая точность будет при больших углах входа ЛА (головной части) в плотные слои атмосферы. При этом приходится поступаться дальностью полета и выбирать такую траекторию, при которой можно получить минимальное рассеивание при дальности, незначительно отличающейся от максимальной .

При решении этой задачи учитывается ещё ряд требований, связанных с условиями прочности ЛА, устойчивостью его полета, удобством эксплуатации и т.д.

3. Вертикальный старт и определенная продолжительность вертикального полета. Продолжительность вертикального полета определяется главным образом тем временем, которое необходимо для обеспечения устойчивого движения ЛА на начальном участке траектории. Продолжительность вертикального полета ЛА составляет 5-10 с.

4. Требование технической осуществимости программы. Приборы СУ и органы управления, реализующие программу угла тангажа на борту ЛА, имеют ограниченные возможности. Поэтому характер изменений функции должен быть таким, чтобы для её отработки были созданы соответствующие управляющие воздействия.

5. Обеспечение допустимых аэродинамических нагрузок. Нормальные (поперечные) перегрузки создаются силами, перпендикулярными к вектору скорости. Они зависят от величины угла атаки в первую очередь. Чтобы ЛА не разрушился, необходимо уменьшать угол атаки , особенно на участках с большими скоростными напорами.

6. Возможность осуществления пусков на любую дальность в заданном диапазоне дальностей с минимальным количеством программ. Для ЛА с широким диапазоном дальностей невозможно выбрать одну, достаточно удовлетворительную программу угла тангажа для всех дальностей. Приходится диапазон возможных дальностей разбивать на несколько более мелких диапазонов, т.е. увеличивать число программ на борту ЛА, что приводит к усложнению системы управления.

7. Обеспечение допустимого аэродинамического нагрева корпуса ЛА на АУТ. При движении ЛА со значительными скоростями в плотных слоях атмосферы увеличивается температура корпуса ЛА и его прочность уменьшается. Поэтому необходимо ограничивать область таких условий движения.

8. Обеспечение допустимого нагрева и перегрузок головной части при движении в плотных слоях атмосферы на ПУТ. Температура нагрева и аэродинамические перегрузки зависят от величин угла входа ГЧ в плотные слои атмосферы и скорости входа. При их увеличении температура нагрева и перегрузки увеличиваются. Поэтому задаются предельные значения угла и скорости полета. Как видим, требования, предъявляемые к программе угла тангажа, во многом противоречивы.

Определение программы угла тангажа

При выборе программы управления на активном участке в качестве критерия чаще всего рассматривается дальность полета головной части. Иногда ставится задача обеспечения минимального рассеивания. Одновременно должны учитываться все заданные ограничения на параметры траектории и режимы полета ЛА (например, по перегрузке, скоростному напору и т.п.).

Рассмотрим задачу выбора программы угла тангажа, обеспечивающей максимальную дальность полета. Эта задача может быть сформулирована следующим образом.

Для момента старта ЛА () заданы начальные условия движения и задан момент включения двигателя . При решении задачи выбора программы угла тангажа , будем получать в конце активного участка траектории разные сочетания параметров движения ЛА . Каждому сочетанию параметров движения в конце активного участка отвечает определенное значение дальности полета . Получается новый вид соответствия: каждой новой функции соответствует новое число, определяющее дальность полета.

Этот вид соответствия в математике охватывается понятием функционала. При этом задача выбора программы угла тангажа, обеспечивающей наибольшую дальность полета, может быть представлена как задача определения такой функции , которая обеспечивает максимальное значение функционала . Раздел математики, изучающий экстремум функционалов, называется вариационным исчислением. Таким образом, задача выбора программы угла тангажа, обеспечивающей наибольшую дальность полета, является вариационной задачей.

Методы вариационного исчисления позволяют получить дополнительные дифференциальные уравнения, которые в совокупности с уравнениями движения дают возможность определить программу максимальной дальности как функции времени.

Затем проверяется возможность удовлетворения требований минимального рассеивания, допустимых аэродинамических нагрузок и т.д. Выбор программы осуществляется здесь путем подбора или анализа полученных результатов. Изменяя значения параметров программы угла тангажа, добиваются получения такого движения ЛА на активном участке траектории, при котором выполняются сформулированные требования.

Ускорение, кажущееся ускорение, перегрузка

Рассмотрим величины, с помощью которых можно охарактеризовать суммарную силу, действующую на ЛА в полете. Из уравнения сил следует, что вектор ускорения

являясь величиной, прямо пропорциональной суммарной силе, служит её характеристикой. Проектируя равенство (2.18) на какие-либо направления, находят характеристики составляющих суммарной силы. Если, например, рассмотреть суммарную силу, действующую в направлении полета ЛА, то

Касательное ускорение служит характеристикой составляющей суммарной силы, действующей в направлении движения ЛА (продольное). Перпендикулярные к вектору скорости (поперечные ) составляющие суммарной силы характеризуются нормальным и боковым ускорениями, под которыми понимают проекции ускорения на направления нормали и бинормали к траектории:

Для принятой схемы плоского продольного движения боковое ускорение равно нулю.

В автономных системах управления ускорения измеряются специальными приборами, называемыми акселерометрами. На примере простейшего акселерометра, представляющего собой инерциальную массу , подвешенную на пружине к корпусу ЛА (Рис. 2.13), выясним, какое ускорение регистрирует инерциальный измеритель ускорений.

Сначала рассмотрим ЛА, находящийся на пусковом столе (Рис. 2.13). Сила притяжения , действующая на ЛА, уравновешивается реакцией опор пускового стола. ЛА находится в покое. Его ускорение . Такая же по физической природе сила действует на пружину в точке ее крепления к корпусу ЛА. При этом пружина растягивается и в определенном масштабе фиксирует ускорение. Наблюдается объективно существующее несоответствие между показаниями акселерометра и ускорением ЛА. Это несоответствие возникает потому, что инерциальные измерители не реагируют на изменение силы притяжения. В данном случае он ускорение от силы реакции, численно равное ускорению земного притяжения.

Справедливость сказанного можно проиллюстрировать известными в физике опытами профессора Любимова.

На рамке, которая может без трения скользить по вертикальным направляющим, укрепляются на одинаковых пружинах два груза разной массы (Рис. 2.14). При закрепленной рамке грузы по-разному растягивают пружины. Когда освобожденная рамка свободно падает по направляющим, растяжение пружин исчезает. Таким образом, сила притяжения Земли действует на грузики при закрепленной и при свободно падающей рамке, а растяжение пружин наблюдается только в первом случае, когда на пружины действует реакция связи.

Аналогичное явление наблюдается на борту ЛА, совершающего свободный полет без сопротивления атмосферы. ЛА движется с ускорением под действием силы притяжения земли. Одинаково действующая и на корпус, и на акселерометр сила притяжения не вызывает растяжение пружины.

Итак, ЛА стоит на пусковом устройстве. Истинное ускорение , акселерометру “кажется” наличие ускорения, так как растяжение пружины акселерометра на старте обусловлено действием силы реакции опоры. В этом случае справедливо равенство

Из этого выражения получаем

Следовательно, акселерометр замеряет ускорение

Это ускорение численно равно ускорению силы земного притяжения, но направлено в противоположную сторону. Направление вектора ускорения, изменяемого акселерометром, еще раз подчеркивает, что оно возникает не за счет силы земного притяжения.

ЛА совершает свободный полет. Истинное ускорение , однако акселерометр находится в покое, ему “кажется” отсутствие ускорения.

В связи с несоответствием между показаниями акселерометра и истинным ускорением ЛА вводится понятие кажущегося ускорения. Кажущимся ускорением называют ускорение, создаваемое всеми действующими на него силами, за исключением силы притяжения земли. Иначе, это ускорение, создаваемое поверхностными силами.

Запишем уравнение сил в таком виде:

Тогда векторное уравнение для кажущегося ускорения на основе данного определения представится следующим образом:

или

Введение понятия кажущегося ускорения играет важную роль во многих практических задачах. В частности, оно определяет инерционные нагрузки, действующие на ЛА, которые характеризуются величиной, называемой перегрузкой. Перегрузка – это отношение кажущегося ускорения к ускорению силы притяжения у поверхности Земли:

вектор перегрузки может проектироваться на любое направление. Его проекции на направление касательной и нормали к траектории называют соответственно касательной и нормальной перегрузками.

Реальными приборами автономных СУ измеряются именно проекции кажущегося ускорения. Акселерометр измеряет составляющую кажущегося ускорения в направлении оси чувствительности . Например, измеритель, ось чувствительности которого совмещена с продольной осью ЛА, измеряет продольное кажущееся ускорение .

Для продольного движения ЛА проекцию легко найти проектированием касательного и нормального ускорений на ось . Из (Рис. 2.15) следует

Проекция ускорения силы притяжения Земли на продольную ось определяется из того же чертежа:

В результате имеем

или приближенно

На активном участке траектории кажущееся ускорение больше истинного на величину проекции ускорения силы притяжения. Примерное соотношение между истинным и кажущимся ускорением в проекции на продольную ось показано на (Рис. 2.16).

Продольное ускорение при движении ЛА растет вследствие увеличения тяги двигателя и уменьшения массы. Переход от первой ступени ко второй и связанные с этим изменения в режиме тяги вызывают скачкообразное уменьшение .

На участке разделения ступеней движущей силой является сила тяги рулевых двигателей.

Ускорение , как правило, становится при этом отрицательным, так как составляющие ускорения земного притяжения и аэродинамической силы превышают ускорение ото всех остальных сил.

При включении основных двигателей второй ступени ускорение скачком возрастает до некоторого значения и далее растет за счет быстрого уменьшения массы второй ступени. В конце активного участка по предварительной команде изменяется режим тяги, что вызывает скачкообразное уменьшение ускорения .

На всем АУТ график продольного кажущегося ускорения (пунктирная линия) проходит выше кривой графика . Разность ординат в начале АУТ составляет . Далее она изменяется по закону . Поскольку угол уменьшается, то уменьшается и . На участке разделения ступеней продольное кажущееся ускорение , как правило, всегда положительно, так как разделение ступеней осуществляется на достаточно большой высоте, где аэродинамические силы меньше тяги рулевых двигателей.

Скорость. Кажущаяся скорость.

К числу характеристик составляющей суммарной силы, действующей на ЛА в направлении ее полета, относится величина скорости центра масс.

Если касательное ускорение характеризует суммарную силу, действующую на ЛА в полете в каждый текущий момент времени, то величина скорости характеризует действие суммарной силы за промежуток времени от начала полета до текущего момента времени. Скорость полета является важным параметром, значение которого в конце АУТ определяет в основном дальность полета головной части. От величины скорости в большой степени зависят значения аэродинамических сил, действующих на ЛА в полете.

Из механики известно, что скорость движения любого тела определяется как интеграл от ускорения. Аналогичным образом вводится и понятие кажущейся скорости, представляющей интеграл от кажущегося ускорения. Например, на основании равенства (2.9) проекцию кажущейся скорости на направление продольной оси ЛА можно определить следующим образом:

При малых дальностях полета ЛА на активном участке траектории и малых углах атаки можно использовать приближенную формулу:

При малых дальностях полета ЛА на активном участке траектории и малых углах атаки можно использовать приближенную фрмулу:

Она следует из приближенного выражения (2.30). Характер изменений проекции векторов скорости центра масс ЛА и кажущейся скорости на направление продольной оси на АУТ показан на (Рис. 2.17). Проекция кажущейся скорости везде больше на величину .

Точка перегиба соответствует скачкообразному изменению проекций соответствующих ускорений в момент разделения ступеней. Интегралы, определяющие скорость движения и кажущуюся скорость, не могут быть выражены в общем случае конечными аналитическими формулами. Как правило, их определяют численными методами.

Значение истинной скорости определяется по формуле

Например, значение скорости в проекции на ось ОХ равно , т.е. значение истинной скорости меньше значения кажущейся скорости на величину . Введенные понятия кажущегося ускорения и кажущейся скорости играют важную роль в методах управления движением ЛА, реализуемых автономными системами управления. Как было уже указано, измерители (акселерометры) замеряют кажущееся ускорение. Вместе с тем в задачу СУ входит и вычисление истинных параметров движения в заданной системе координат.

Принципиальной особенностью автономной системы управления является определение скоростей и координат путем интегрирования измеренных значений кажущегося ускорения. Но из уравнения следует, что действительное ускорение складывается из кажущегося, измеряемого акселерометром, и ускорения силы тяжести, которое не может быть измерено и должно вычисляться на борту ЛА (ускорение силы тяжести является функцией координат ЛА). Если оси чувствительности акселерометров совместить с направлением осей и Земной системы координат, то интегрированием можно получить составляющие скорости:

В результате повторного интегрирования получим декартовы координаты x и y точки, в которой расположены чувствительные элементы акселерометров:

Кажущиеся координаты соответственно могут быть определены повторным интегрированием кажущегося ускорения.

Маневренность, поворотливость и устойчивость движения

Маневренность ЛА. Способность ЛА изменять направление своего движения под действием управляющих сил называется маневренностью. В соответствии с введенным понятием суммарная управляющая сила, действующая в направлении, перпендикулярном полету ЛА, определяет ее маневренность.

С помощью управляющих сил создаются составляющие ускорения, пропорциональные углам атаки, и отклонения органов управления:

Из выражения (2.34) видно, что величина нормального ускорения является функцией углов . Если эти углы равны нулю, то ЛА совершает движение по криволинейной траектории, называемой баллистической траекторией. Искривление траектории происходит под действием силы притяжения Земли, которая для управления полетом не используется. Нормальное ускорение применяется в качестве величины, используемой для оценки маневренности ЛА. При этом изменения полета под действием управляющих сил оценивается по отношению к баллистической траектории.

Наряду с нормальным кажущимся ускорением на практике для оценки маневренности используется еще и нормальная перегрузка, определяемая равенством

Маневренность ЛА в различных точках траектории не остается постоянной. В процессе полета изменяется сила тяги ДУ, тяга органов управления, масса ЛА, аэродинамические коэффициенты. Поэтому при одних и тех же углах могут быть созданы разные по величине нормальные кажущиеся ускорения.

По мере набора высоты и увеличения скорости полета маневренность уменьшается.

Поворотливость ЛА. Для создания в процессе полета ЛА необходимых углов атаки и скольжения необходимо управлять вращательным движением ЛА вокруг его центра масс. Это достигается с помощью органов управления, которые создают управляющие моменты относительно центра масс.

Способность ЛА поворачиваться вокруг центра масс под действием управляющих моментов будем называть поворотливостью ЛА.

Анализ плавного движения вокруг центра масс показывает, что для такого движения является характерным малость угловых скоростей и ускорений. Поэтому в динамических уравнениях можно пренебречь членами, содержащими угловые скорости и ускорения и перейти от дифференциальных уравнений к недифференциальным, характеризующим условия равновесия между моментами. Для движения ЛА вокруг оси OZ можно получить зависимость

или

Разрешив это уравнение относительно угла атаки, получим балансировочную зависимость между углами атаки и углами отклонения органов управления

Найденная зависимость показывает, на какой угол атаки отклонится продольная ось ЛА от его вектора скорости при отклонении органов управления на угол . Балансировочная зависимость (2.38) принимается в качестве характеристики поворотливости ЛА вокруг оси OZ.

Отношение коэффициента управляющего момента к коэффициенту статического момента называется коэффициентом балансировки

Как следует из выражений для моментов,

Введенная характеристика поворотливости справедлива для выбранного момента времени. Если ее относить к различным моментам времени движения ЛА на АУТ, то балансировочная зависимость оказывается связанной с выбранным движением центра масс.

Введенная характеристика поворотливости справедлива для выбранного момента времени. Если ее относить к различным моментам времени движения ЛА на АУТ, то балансировочная зависимость оказывается связанной с выбранным движением центра масс.

Коэффициент балансировки a претерпевает существенное изменение вдоль траектории.

На (Рис. 2.18) показан характер его изменения для одного из типов ЛА. Коэффициент управляющего момента изменяется незначительно. Поэтому характер кривой в основном определяется изменением коэффициента статического момента.

Учет работы АУС не влияет на установленную выше балансировочную зависимость, так как АУС не добавляет новых сил и моментов, действующих на ЛА в полете. Однако работа АУС изменяет подход к обеспечению положения равновесия, определяемого равенством (2.39). Ранее угол считался заданной величиной. Теперь же для его определения воспользуемся статическим уравнением канала тангажа АУС:

Из балансировочной зависимости (2.38) выразим и подставим его в левую часть уравнения (2.41):

В левую часть уравнения перенесем слагаемые, пропорциональные углу атаки. В результате получим

Обозначая , перепишем полученное уравнение в окончательном виде:

На больших высотах полета, где плотность воздуха пренебрежимо мала, коэффициент N=0, следовательно,

Если задаваемое программным элементом направление продольной оси ЛА совпадает с вектором скорости, то угол атаки равен нулю. Значит, ЛА идеально отрабатывает программное значение угла тангажа без вмешательства системы управления.

Устойчивость движения. Статической устойчивостью ЛА называется его свойство с закрепленными органами управления приходить при заданном движении центра масс в исходное положение равновесия после устранения причин, вызвавших нарушение этого равновесия. Соответственно ЛА, обладающие статической устойчивостью, будем называть статически устойчивыми, а ЛА не обладающие статической устойчивостью, статически неустойчивыми.

Наименование "статическая" устойчивость отражает "статичность" рассматриваемой схемы движения ЛА. Движение центра масс ЛА принимается заданным, не зависящим от его вращательного движения.

Если центр давления ЛА лежит позади центра масс, то ЛА статически устойчив (Рис. 2.19a). В этом случае при возникновении угла атаки появляется момент , который стремится уменьшить угол атаки. Статический аэродинамический момент в этом случае называется стабилизирующим.

Если же центр давления лежит впереди центра масс, то возникающий при этом момент стремится увеличить возникший угол атаки, т.е. стремится как бы опрокинуть ЛА. Момент в этом случае называется опрокидывающим, а ЛА - статически неустойчивым (Рис. 2.19b). Для обеспечения устойчивого движения необходимо, чтобы ЛА был статически устойчивым.

Однако у существующих типов ЛА корпус имеет такую конфигурацию и аэродинамическую форму, которые определяют расположение центра давления впереди центра масс на большей части АУТ. Следовательно, такие ЛА большую часть полета на АУТ являются статически неустойчивыми.

Для обеспечения статической устойчивости, особенно на начальном участке полета ЛА, придают специальную форму (конусный хвостовой отсек) или используют на хвостовой части ЛА оперение. При этом центр давления перемещается (в полете) назад за центр масс.

Для смещения центра масс ЛА вперед обычно бак окислителя помешается в переднюю часть корпуса. Кроме того, организуется расход топлива так, чтобы во время полета обеспечить смешение центра масс ближе к головной части. Для этого бак окислителя делят на полости и сначала окислитель расходуют из нижней полости, а затем из верхней.

Устойчивое движение статически неустойчивого ЛА обеспечивается работой системы управления.